Soit \(\sigma\) une bijection telle que \(\sum u_{\sigma(n)}\) converge et \(\sum u_{\sigma(n)}=\sum u_n\)
On dit alors que la série est commutativement convergente
(Permutation des termes d’une série)
Une série commutativement convergente est absolument convergente si et seulement si elle converge
(Série absolument convergente)
Soit \(\sum u_n\) convergente et \(\sum\lvert u_n\rvert=+\infty\)
Alors pour tout \(\lambda\in{\Bbb R}\), il existe une bijection \(\sigma:{\Bbb N}\to{\Bbb N}\) telle que $$\sum^n_{k=0}u_{\sigma(n)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\lambda$$
Soit \(\sum u_n\) une série convergente et \(\sum\lvert u_n\rvert=+\infty\)
Alors $$\exists\sigma,{{\quad\sum u_{\sigma(n)}\longrightarrow+\infty}}$$